Teorie výroků – Kvantifikátory

Poslední důležitou částí výroků jsou obecné a existenční kvantifikátory, které si nyní vysvětlíme.

Kvantifikátory

V podstatě všechny příklady této lekce jsou postaveny na vytvoření negace kvantifikovaného výroku. Není to nic složitého, takže tuto lekci zvládneme hravě.

Kvantifikátory dělíme na 2 typy a to Obecný a Existenční.

Obecný kvantifikátor – značíme ∀

Sem řadíme slova souhrnného významu, tedy taková, označující buď vše a nebo nic.

každý; všichni; žádný; nikdo; ani jeden

Důležité je věnovat pozornost „záporným“ podobám obecného kvantifikátoru (žádný, nikdo, ani jeden). V české větě sice řekneme: „Nikdo nešel domů.“, je třeba si však uvědomit, že tento výrok znamená to stejné jako „Všichni nešli domů.“ To je vlastnost českého jazyka, a je potřeba na to tedy pamatovat.

Existenční kvantifikátor – značíme ∃

Od předchozího se podstatně liší, je v podstatě jeho negací.

některý; nějaký; někdo; alespoň jeden

Tož to jsou základy kvantifikátorů. K tomu si ukážeme jejich negace a máme hotovo.

Negace kvantifikátorů

Negace kvantifikátorů není nic složitého obecný kvantifikátor změníme na existenční, nebo naopak existenční na obecný a základní výrok znegujeme.

Negace obecného kvantifikátoru

Všechny růže jsou červené.

Postup si ukážeme ve 3 krocích.

Změna kvantifikátoru

Nejdříve změníme obecný kvantifikátor na existenční. Dostaneme tak větu:

Alespoň jedna růže…, Některá růže…

Negace výroku

Nyní si znegujeme samotný základ výroku růže jsou červené a dostaneme:

… růže nejsou červené.

Výsledek

A nakonec si to spojíme dohromady.

Alespoň jedna růže není červená. nebo Některá růže není červená.

Jednoduché viďte. Ukážeme si to ale pro jistotu i s existenčním kvantifikátorem.

Negace existenčního kvantifikátoru

Některé tulipány jsou žluté.

Postup si ukážeme znovu ve 3 krocích.

Změna kvantifikátoru

Nejdříve změníme existenční kvantifikátor na obecný. Dostaneme tak větu:

Žádný tulipán…

Negace výroku

Nyní si znegujeme samotný základ výroku růže jsou červené a dostaneme:

… tulipány nejsou žluté.

Výsledek

A nakonec si to spojíme dohromady.

Žádný tulipán není žlutý.

Zde může být trošku problém s obecným kvantifikátorem. Pokud máme negovat existenční kvantifikátor Některý je tak musíme použít obecný Žádný není. V případě negace Některý není použijeme Všechny jsou.

A jak to říct polopatě?

Pokud jsou všechny, nebo žádný (obecný kvantifikátor), tak negace tohoto výroku je, že existuje nějaká výjimka. tedy alespoň jeden, nebo nějaký.

A pokud chceme negaci existenčního kvantifikátoru, alespoň jeden není, nebo některé jsou použijeme obecný kvantifikátor, který nám jakoby zakazuje jakoukoli výjimku. Jednoduše všechny jsou nebo žádné nejsou.

A na závěr ještě jednou jinak

Obecný kvantifikátor: ∀(A) a jeho negace: ∃(¬A)

Existenční kvantifikátor: ∃(A) a jeho negace: ∀(¬A)