Teorie výroků – Konjunkce

Pokud jsme již pochopili základy jako co je to Výrok a jeho negaci, můžeme se posunout o něco dál.

Konjunkce

Konjunkci lze definovat tak, že pokud je jeden výrok pravdivý a druhý výrok je také pravdivý, pak i konjunkce obou výroků je pravdivá. Konjunkci značíme znaménkem ∧ a slovně ji značíme pomocí spojky „a“, nebo „a zároveň“

„A a B“, „A a zároveň B“

Samotný výrok může sám o sobě znít negativně, pak použijeme

„ani A, ani B“

Stejně jako u základů výroků a jejich negace, můžeme použít pravdivostní tabulku, kde 1 znamená pravdivý výrok a 0 negativní. Z tabulky vidíme, že konjunkce je pravdivá pouze v případě, že jsou pravdivé obě hodnoty! Toto je důležité si pamatovat!

Aby to nebyla jen samá teorie, je třeba si uvést několik příkladů. Máme 2 výroky.

Výrok A: Anička má zmrzlinu.

Výrok B: Pepík má limonádu.

Konjunkci těchto dvou výroku zaznačíme A ∧ B a slovně ji vyjádříme jako Anička má zmrzlinu a Pepík má limonádu.

Pokud bysme věděli, že Anička tu zmrzlinu ve skutečnosti nemá, měl by Výrok A (Anička má zmrzlinu) nepravdivou hodnotu, tedy 0. V takovém případě by jakákoli konjunkce s výrokem B měla ve výsledku také nepravdivou hodnotu.

Takže nyní již poznáme konjunkci a víme, že výroky jsou pravdivé, jen v případě, že jsou pravdivé oba dva.

Konjunkce a pravdivostní hodnoty

Trošku si to zkomplikujeme a přidáme negace. Nebojte skoro nic se nezmění.

V tabulce nám přibylo sice pár sloupečků, ale princip zůstává stejný. Jednička, neboli pravdivostní hodnota, je pouze tam, kde jsou obě hodnoty pravdivé.

Konjunkce výroku A a B zní: „Anička má zmrzlinu a Pepík má limonádu.“

Konjunkce negací výroku zní: „Anička nemá zmrzlinu a Pepík nemá limonádu.“

A pokud nakombinujeme obě předchozí varianty, dostaneme:

„Anička nemá zmrzlinu a Pepík má limonádu.“ nebo „Anička má zmrzlinu a Pepík nemá limonádu.“

Negace konjunkce

Samotnou konjunkci značíme A ∧ B a slovně Anička má zmrzlinu a Pepík má limonádu. Její negace je ¬(A ∧ B) a slovně:

Není pravda, že Anička má zmrzlinu a Pepík má limonádu.

Z pravdivostní tabulky víme, že aby konjunkce byla nepravdivá, stačí aby byl alespoň jeden výrok nepravdivý. Výše uvedená věta tedy znamená, že:

Anička nemá zmrzlinu nebo Pepík nemá limonádu, což je disjunkce (¬ A ∨ ¬ B)

Větu můžeme říct i jinak:

Jestliže Anička má zmrzlinu, tak Pepík nemá limonádu, což je implikace (A ⇒ ¬ B)

A nebo ji můžeme znázornit takto:

Jestliže Pepík má limonádu, tak Anička nemá zmrzlinu, což je implikace (B ⇒ ¬ A)

Všechny tyto varianty nám v podstatě značí to samé a mohou se nám v případě řešení příkladů velmi hodit. Je tedy důležité si zapamatovat, že ¬(A ∧ B)   =   ¬ A ∨ ¬ B   =   A ⇒ ¬ B   =   B ⇒ ¬ A.