Teorie výroků – Implikace

Další důležitou logickou spojkou, na kterou se blíže podíváme a která se TSP často vyskytuje, je implikace.

Implikace

Implikace se od předchozích dvou logických spojek (konjunkce a disjunkce) liší a to v komutativnosti. Zatímco u předchozích dvou šlo zaměnit pořadí, zde to nelze. Pokud zaměníme pořadí výroků A a B dostaneme zcela jiný význam, ale o tom až dále. Implikace se značí znaménkem ⇒ a v případě dvou výroků A ⇒ B, tak značí, že výrok B vyplývá z výroku A.

Slovně můžeme Implikaci vyjádřit následovně:

„jestliže A, pak B“

„-li A, pak B“

„pokud A, pak B“

Pro lepší pochopení si Výroky A a B nahradíme konkrétními větami.

Výrok A: Venku prší

Výrok B: Venku je bláto

Ve větách pak následující výroky spojené implikací vypadají následovně:

Jestliže venku prší, je venku bláto.

Prší-li venku, pak je venku bláto.

Pokud venku prší, tak je venku bláto.

Toto je pouze ukázka několika možností jak implikaci slovně zapsat. Možností je více, ale mají stejný význam. Výrok B nastává vždy po výroku A. Pokud tedy platí výrok A, platí zaručeně i B, ale obráceně tomu tak není. Venku může být bláto, i když neprší (jsou i jiné možnosti, např. se rozlila cisterna s vodou, nebo havárie potrubí), tedy výrok B platí, i když výrok A není pravdivý. Takže pozor na to. A s tím souvisí i pravdivostní tabulka. V ní můžeme vidět, že Implikace je nepravdivá pouze v případě, že z pravdy uděláme lež. Tedy, že pokud venku prší, není venku bláto.

Obrácená implikace

Začíná se to komplikovat, viďte. Aby toho nebylo málo, povíme si něco o obrácené implikaci. Jde v podstatě o klasickou implikaci a řeší se úplně stejně. Jediný rozdíl je v použitých spojkách a pořadí výroků. Pro ukázku si použijeme stejné výroky jako výše a implikace v obráceném směru pak zní:

Venku je bláto tehdy, když venku prší.

Implikace postavena jako B je tehdy, když je A a značíme ji B ⇒ A.

Ekvivalence k implikaci

Co to? Jedná se o stejný význam jako má implikace, ale zapsán jiným způsobem. Je to takové synonymum a značí se ¬A ∨ B. Tedy negace prvního výroku spojena disjunkcí s druhým výrokem. Pro lepší představu se podívejte na příklad.

Venku neprší nebo je venku bláto.

Tato věta nám dává 2 možnosti, buďto je venku bláto a prší, nebo venku neprší a není tam bláto. Má tedy stejný význam jako A ⇒ B. Ekvivalenci, neboli stejný význam, implikace si určitě zapamatujte! V TSP se reálně vyskytuje.

Existují i další způsoby vyjadřující implikaci A ⇒ B jiným způsobem, ale ty již nejsou tak časté. Jsou jimi:

¬B ⇒ ¬A nebo ¬(A ∧ ¬B)

Když si je postupně převedeme do slov:

Jestliže venku neprší, není venku bláto.

Venku je bláto nebo venku neprší.

Není pravda, že venku prší a není tam bláto.

Všechny tyto věty mají stejný význam jako implikace A ⇒ B a je dobré si je zapamatovat!

Negace implikace

Vpravo vidíte pravdivostní tabulku implikace výroků A a B a jejich negací. Tu si ovšem pamatovat nemusíte. Stačí si pamatovat, že implikace je nepravdivá pouze v případě, když z pravdy implikujeme nepravdu.

No a jak tedy vypadá samotná negace implikace? Značí me ji ¬(A ⇒ B) a slovně ji můžeme vyjádřit třeba takto:

Není pravda, že pokud venku prší, tak je venku bláto.

Při zamyšlení dospějeme k závěru, že aby tato implikace byla nepravdivá musí dojít k situaci, že venku prší a přesto tam není bláto. Jedná se tedy konjunkci, konkrétně výrok A konjunkce negace výroku B, což můžeme vyjádřit také následovně: A ∧ ¬B. Tím se vracíme zpátky na začátek negace implikace, kdy jsme si řekli, že implikace je nepravdivá pouze v případě, kdy první výrok je pravdivý a současně druhý je nepravdivý.

Závěr

Co si tedy z této lekce vzít? Všechno. Je důležité si uvědomit jak funguje implikace, jak vypadá v obráceném směru a že jde v podstatě o tu samou implikaci, také jaká je ekvivalence k implikaci a především, jaká je negace implikace. Všechno toto budete v testech studijních předpokladů potřebovat!